已知,$\angle AOB=45^{\circ}$,在射线$OB$上取一点$C$,作点$C$关于直线$AO$的对称点为$D$,连接$DO$,点$E$在射线$CD$上,连接$EO$,过点$C$作$CG\bot EO$于$G$,过点$D$作$DF\bot EO$于$F$.
$(1)$若点$E$在点$D$的上方:
①依题意,在图中补全图形；
②若$DF=2$,$CG=6$,求$FG$的长；
$(2)$当点$E$在射线$CD$上运动时,请画出图形,标注字母,并直接用等式表示$DF$、$CG$、$FG$出之间的数量关系（不需要证明).