如图,在平面直角坐标系中,$O$为坐标原点,一次函数$y=\frac{1}{2}x+b$与$x$轴,$y$轴分别交于点$B\left(-8,0\right)$、点$A$,点$C$的坐标为$C\left(3,0\right)$,点$P$是$x$轴上一动点.
$(1)$求一次函数表达式和点$A$的坐标；
$(2)$连接$AP$,若$\triangle ABP$的面积为$10$,求点$P$的坐标；
$(3)$当点$P$在$x$轴上运动时,是否存在点$P$使$\triangle APC$是等腰三角形,若存在,请直接写出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由.