在一堂平面几何专题复习课上,刘老师先引导学生解决了以下问题:
【问题情境】

如图$1$,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,$AB=AC$,点$D$、$E$在边$BC$上,且$\angle DAE=45^{\circ}$,$BD=3$,$CE=4$,求$DE$的长. 解:如图$2$,将$\triangle ABD$绕点$A$逆时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle ACD\’$,连结$ED\’$. 由旋转的特征得$\angle BAD=\angle CAD\’$,$\angle B=\angle ACD\’$,$AD=AD\’$,$BD=CD\’$. $\because \angle BAC=90^{\circ}$,$\angle DAE=45^{\circ}$, $\therefore \angle BAD+\angle EAC=45^{\circ}$. $\because \angle BAD=\angle CAD\’$, $\therefore \angle CAD\’+\angle EAC=45^{\circ}$,即$\angle EAD\’=45^{\circ}$. $\therefore \angle DAE=\angle {{{{{D\’}}}}}AE$. 在$\triangle DAE$和$\triangle {{{{{D\’}}}}}AE$中, $AD=AD\’$,$\angle DAE=\angle {{{{{D\’}}}}}AE$,$AE=AE$, $\therefore$①_____. $\therefore DE={{{{{D\’}}}}}E$. 又$\because \angle ECD\’=\angle ECA+\angle ACD\’=\angle ECA+\angle B=90^{\circ}$, $\therefore$在$Rt\triangle ECD\’$中,②_____. $\because CD\’=BD=3$,$CE=4$, $\therefore DE={{{{{D\’}}}}}E=$③_____.

【问题解决】
上述问题情境中,"①"处应填:______；"②"处应填:______；"③"处应填:______.
刘老师进一步谈到:图形的变化强调从运动变化的观点来研究,只要我们抓住了变化中的不变量,就能以不变应万变.
【知识迁移】
如图$3$,在正方形$ABCD$中,点$E$、$F$分别在边$BC$、$CD$上,满足$\triangle CEF$的周长等于正方形$ABCD$的周长的一半,连结$AE$、$AF$,分别与对角线$BD$交于$M$、$N$两点.探究$BM$、$MN$、$DN$的数量关系并证明.

【拓展应用】
如图$4$,在矩形$ABCD$中,点$E$、$F$分别在边$BC$、$CD$上,且$\angle EAF=\angle CEF=45^{\circ}$.探究$BE$、$EF$、$DF$的数量关系:______(直接写出结论,不必证明).
最后,刘老师总结到:希望同学们在今后的数学学习中,学会用数学的眼光观察现实世界,用数学的思维思考现实世界,用数学的语言表达现实世界.