为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.

根据这个购房方案：

$(1)$若某三口之家欲购买$120$平方米的商品房，求其应缴纳的房款；

$(2)$设该家庭购买商品房的人均面积为$x$平方米，缴纳房款$y$万元，请求出$y$关于$x$的函数关系式；

$(3)$若该家庭购买商品房的人均面积为$50$平方米左右，缴纳房款为$y$万元，且$57< y⩽60$时，求$m$的取值范围.