$(1)$【探究发现】如图①,已知矩形$ABCD$的对角线$AC$的垂直平分线与边$AD$,$BC$分别交于点$E$,$F$.求证:四边形$AFCE$是菱形；
$(2)$【类比应用】如图②,直线$EF$分别交矩形$ABCD$的边$AD$,$BC$于点$E$,$F$,将矩形$ABCD$沿$EF$翻折,使点$C$的对称点与点$A$重合,点$D$的对称点为${D\’}$,若$AB=3$,$BC=4$,求四边形$ABFE$的周长；
$(3)$【拓展延伸】如图③,直线$EF$分别交平行四边形$ABCD$的边$AD$,$BC$于点$E$,$F$,将平行四边形$ABCD$沿$EF$翻折,使点$C$的对称点与点$A$重合,点$D$的对称点为${D\’}$,若$AB=2\sqrt{2}$,$BC=4$,$\angle C=45^{\circ}$,求$EF$的长.