在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$\odot O$是$\triangle ABC$的内切圆,切点分别为$D$,$E$,$F$.
$(1)$图$1$中三组相等的线段分别是$CE=CF$,$AF=$______,$BD=$______；若$AC=3$,$BC=4$,则$\odot O$半径长为______；
$(2)$如图$2$,延长$AC$到点$M$,使$AM=AB$,过点$M$作$MN\bot AB$于点$N$.求证:$MN$是$\odot O$的切线.