定义:$a$,$b$,$c$为正实数,若$c^{2}=a^{2}+b^{2}$,则称$c$为"和谐勾股数",$a$,$b$为$c$的"兄弟勾股数".如$5^{2}=3^{2}+4^{2}$,则$5$是"和谐勾股数",$3$,$4$是$5$的"兄弟勾股数".
$(1)$数$10$______"和谐勾股数"（填"是"或"不是"）；
$(2)$已知$\triangle ABC$的三边$a$,$b$,$c$满足$a^{2}+b^{2}+c^{2}-2a-2b-2\sqrt{2}c+4=0$.求证:$c$是"和谐勾股数".