如图$1$,直线$l_{1}$:$y=-x+5$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$.直线$l_{2}$与$x$轴交于点$C$,与$y$轴交于点$D$,与直线$l_{1}$交于点$E\left(m,3\right)$,已知$OC=\frac{4}{5}OB$.
$(1)$求直线$l_{2}$的解析式；
$(2)$连接$BC$,在直线$l_{2}$上有一点$P$满足$S_{\triangle BCP}=2S_{\triangle ACE}$,求出点$P$的坐标；
$(3)$如图$2$,将直线$l_{2}$沿$y$轴向下平移$6$个单位长度,得到直线$l_{3}$,直线$l_{3}$与$y$轴相交于点$F$,在直线$l_{1}$上是否存在点$Q$,使$\triangle BFQ$是以线段$BF$为腰的等腰三角形?若存在,请直接写出所有可能的点$Q$的坐标；若不存在,请说明理由.