在平面直角坐标系$xOy$中,直线$l_{1}$:$y=k_{1}x+6$与$x$轴、$y$轴分别交于$A$、$B$两点,且$OB=\sqrt{3}OA$,直线$l_{2}$:$y=k_{2}x+b$经过点$C(\sqrt{3}$,$1)$,与直线$AB$交于点$D$.
$(1)$求直线$l_{1}$的解析式；
$(2)$如图$2$,连接$CB$、$AC$,求$\triangle ABC$的面积；
$(3)$如图$2$,当点$D$在直线$AB$上运动时,在坐标轴上是否存在点$Q$,使$\triangle QCD$是以$CD$为底边的等腰直角三角形?若存在,请直接写出点$Q$的坐标,若不存在,请说明理由.