如图$1$,$AD$是$\odot O$的直径,弦$BC\bot AD$,$\angle CAD=30^{\circ}$.

$(1)$求证:$\triangle ABC$是等边三角形；
$(2)$如图$2$,若点$E$是$\widehat {AC}$的中点,连接$AE$,过点$C$作$CF\bot AE$,垂足为$F$,若$CF=\sqrt{3}$,求线段$OF$的长；
$(3)$若$\odot O$的半径为$4$,点$P$是直线$BD$上的动点,将点$P$绕点$O$逆时针旋转$120^{\circ}$得点$R$,连接$PR$,$BR$.求$OP+BR$的最小值.