如图，$AB$是$⊙O$的直径，点$C$、$G$为圆上的两点，当点$C$是弧$BG$的中点时，$CD$垂直直线$AG$于点$G$，垂足为$D$，直线$DC$与$AB$的延长线相交于点$P$，弦$CE$平分$∠ACB$，交$AB$于点$F$，连接$BE.$
$(1)$求证：$DC$与$⊙O$相切；
$(2)$求证：$PC=PF$；
$(3)$若$\tan∠E=\dfrac{1}{3}$，$BE=\sqrt{5}$，求线段$PF$的长．