如图,在平面直角坐标系中,$O$是坐标原点,长方形$OACB$的顶点$A$,$B$分别在$x$轴与$y$轴上,已知$OA=6$,$OB=10$.点$D$为$y$轴上一点,其坐标为$\left(0,2\right)$,点$P$从点$A$出发以每秒$2$个单位的速度沿线段$AC-CB$的方向运动,当点$P$与点$B$重合时停止运动,运动时间为$t$秒.
$(1)$当点$P$经过点$C$时,求直线$DP$的函数解析式；
$(2)$求$\triangle OPD$的面积$S$关于$t$的函数解析式；
$(3)$点$P$在运动过程中是否存在使$\triangle BDP$为等腰三角形?若存在,请求出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由.