如图$1$,在平面直角坐标系中,直线$l_{1}$:$y=-\frac{1}{3}x+2$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,直线$l_{2}$:$y=2x$与直线$l_{1}$交于点$C$.

$(1)$求线段$AB$的长度.
$(2)$如图$2$,点$P$是射线$CA$上的任意一点,过点$P$作$PD$∥$y$轴且与$l_{2}$交于点$D$,连接$OP$,当$PD=5$时,求$\triangle PCO$的面积.
$(3)$如图$3$,在（2）的条件下,将$\triangle OCP$先向右平移$2$个单位,再向上平移$4$个单位,点$P$的对应点为点$F$,在$y$轴上确定一点$G$,使得以点$A$,$F$,$G$为顶点的三角形是等腰三角形,直接写出所有符合条件的点$G$的坐标.