【发现问题】
蜂巢的结构非常精美,每个巢室都是由多个正六边形组成（如图$1)$,某数学兴趣小组的同学用若干个形状、大小均相同的正六边形模具,模仿蜂巢结构拼成如图$2$所示的若干个图案,同学们发现:在每个拼接成的图案中,所需正六边形模具的总个数随着第一层（最下面一层）正六边形模具个数的变化而变化.
【提出问题】
在拼接成的图案中,所需正六边形模具的总个数$y$与第一层正六边形模具的个数$x$之间有怎样的函数关系?
【分析问题】
同学们结合实际操作和计算得到如下表所示的数据

第一层正六边形模具的个数$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$\ldots$
拼接图案中所需正六边形模具的总个数$y$	$1$	$7$	$19$	$37$	$\ldots$

然后在平面直角坐标系中描出上面表格中各对数值所对应的点得到图$3$,同学们根据图$3$中点的分布情况,猜想其图象是二次函数图象的一部分.
为了验证猜想,同学们从"形"的角度出发,借助"割补"的方法,把某一拼接图案中上半部分的正六边形模具（虚线部分）移到下面（如图$4)$,并把第一层缺少的正六边形模具（阴影部分）补全,再拼接到一起（如图$5)$,使每一层正六边形模具的数量相同,借此图求出正六边形模具的总个数,再减去用于补全图形的正六边形模具的个数,即可求出$y$与$x$之间的关系式.
【解决问题】
$(1)$直接写出$y$与$x$的关系式；
$(2)$若同学按图$2$的方式拼接图案,共用了$169$个正六边形模具,求拼接成的图案中第一层正六边形模具的个数；
$(3)$如图$6$,作正六边形模具的外接圆,圆心为$O$,$A$,$B$为正六边形模具相邻的两个顶点,$\widehat {AB}$的长为$\frac{2}{3}πcm$,现有一张长$100cm$,宽$80cm$的长方形桌子,若按图$2$的拼接方式拼接图案（模具间的接缝忽略不计）,最多可以放下多少个正六边形模具?$(\sqrt{3}≈1.732)$