同学们以"一块直角三角板和一把直尺"开展数学活动,提出了很多数学问题,请你解答:
$(1)$如图$1$,$\angle \alpha$和$\angle \beta$具有怎样的数量关系?请说明理由；
$(2)$如图$2$,$\angle DFC$的平分线与$\angle EGC$的平分线相交于点$Q$,求$\angle FQG$的大小；
$(3)$如图$3$,点$P$是线段$AD$上的动点（不与$A$,$D$重合）,连接$PF$、$PG$,$\frac{∠DFP+∠FPG}{∠EGP}$的值是否变化?如果不变,请求出比值；如果变化,请说明理由.