如图$1$,油纸伞是中国传统工艺品之一.如图$2$.伞圈$D$沿着伞柄$AP$滑动时,总有伞骨$BD=CD$,$AB=AC$,从而使得伞柄$AP$始终平分同一平面内两条伞骨所成的$\angle BAC$.为了说明这一制作方法的正确性,需要对其进行证明,如下给出了不完整的"已知"和"求证",请补充完整,并写出"证明"过程.
已知:如图$2$,点$A$,$B$,$C$,$D$在同一平面内,$D$在$AP$上,$BD=CD. \_\_\_\_\_\_.$
求证:______.
证明: