已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+\left(k+4\right)x+k+3=0$的两根是$x_{1}$,$x_{2}$.
$(1)$证明:无论$k$为何值,该方程总有两个实数根；
$(2)$若该方程的一个根为$1$,求它的另一个根和$k$的值；
$(3)$无论$k$为何值,方程总有一个不变的根为______.