我们定义:如果两个一元一次不等式有公共整数解,那么称这两个不等式互为"友好不等式",其中一个不等式是另一个不等式的"友好不等式",
$(1)$不等式$x\geqslant 2 \_\_\_\_\_\_x\leqslant 2$的"友好不等式"；(填"是"或"不是"）；
$(2)$若$a\neq -1$,关于$x$的不等式$x+3 \gt a$与不等式$ax-1\leqslant a-x$互为"友好不等式",求$a$的取值范围；
$(3)$若关于$x$的不等式$x-m\geqslant 0$不是$2x-1 \lt x+2$的"友好不等式",则$m$的取值范围是______.