如图,在等腰$\triangle ABC$中,$\angle BAC=120^{\circ}$,$AB=AC=4$.点$D$为$AB$的中点,动点$P$从点$D$出发,沿着$D\rightarrow A\rightarrow C$方向运动至点$C$处停止,过点$P$作$PQ\bot BC$交$BC$于点$Q$.设点$P$运动的路程为$x$,点$P$、$Q$的距离为$y$.

$(1)$请直接写出$y$关于$x$的函数表达式,并注明自变量$x$的取值范围；
$(2)$在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象,并写出该函数的一条性质；
$(3)$结合函数图象,若直线$y=\frac{1}{4}x+t$与函数图象有$2$个交点,请直接写出$t$的取值范围.