如图,在$\triangle ABC$中,点$D$在$AB$上,过点$D$作$DE$∥$BC$,交$AC$于点$E$,$DP$平分$\angle ADE$,交$\angle ACB$的平分线于点$P$,$CP$与$DE$相交于点$G$,$\angle ACF$的平分线$CQ$与$DP$相交于点$Q$.
$(1)$若$\angle A=40^{\circ}$,$\angle B=60^{\circ}$,则$\angle DPC=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$,$\angle Q=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$；
$(2)$若$\angle A=\alpha ($其中$\alpha$是固定值),当$\angle B$的度数发生变化时,$\angle Q$的度数是否发生变化?若有变化,说明理由；若不变化,求$\angle Q$的度数（用$\alpha$的代数式表示）；
$(3)$若$\triangle PCQ$中存在一个内角等于另一个内角的三倍,请直接写出所有符合条件的$\angle A$的度数.