如图所示,长方形$ABCD$中,$AB=4cm$,$AD=8cm$.点$P$从点$A$出发,沿边$AD$向$A-D-A$做往返运动,每秒移动$2cm$,动直线$a$与边$CD$重合,交$AD$于点$M$,$BC$于点$N$.直线$a$与点$P$同时出发,沿$DA$方向移动,每秒移动$1cm$,移动$t$秒$\left(t \gt 0\right)$,当直线$a$与边$AB$重合时,移动全部停止.
$(1)$用含$t$的代数式表示$AP$的长度；
$(2)$当$t$为何值时,点$P$在直线$a$上；
$(3)$连结$PB$,$PN$,直接写出当$t$为何值时,$\triangle PAB$与$\triangle PMN$全等.