如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC=90^{\circ}$,$BO$为斜边上的高,在射线$AB$上有一点$M$,连接$OM$,作$\angle MON=90^{\circ}$,$ON$交射线$BC$于点$N$.

【问题发现】
如图甲所示,如果$AB=CB$,则$OM$与$ON$的数量关系$OM \_\_\_\_\_\_ON($填"$\gt$""$\lt$"或"$=$"）；
【类比探究】
如图乙所示,如果改变$Rt\triangle ABC$中两直角边的比例,使得$AB=2BC$,则$OM$与$ON$还存在图甲中的关系吗?说明理由.
【拓展延伸】
如图丙所示,在$Rt\triangle ABC$中,如果已知$BC=2,AB=2\sqrt{3},NO=\sqrt{2}$,试求$BM$的长.