如图,在$Rt\triangle ABC$中,$AB=4cm$,$\angle C=90^{\circ}$,$\angle A=45^{\circ}$.动点$P$从点$A$出发,以$2cm/s$的速度沿$AB$方向向终点$B$运动.过点$P$作$PQ\bot AB$,交折线$AC-CB$于点$Q$.设点$P$的运动时间为$x\left(x \gt 0\right)$,$\triangle APQ$的面积为$y(cm^{2})$.
$(1)AP$的长为______(用含$x$的代数式表示）；
$(2)AC=\_\_\_\_\_\_cm$；
$(3)$求$y$关于$x$的函数解析式,并写出自变量$x$的取值范围；
$(4)$当$PQ=\sqrt{2}CQ$时,直接写出$x$的值.