在等边$\triangle ABC$中,点$E$是$AB$上的动点,点$E$与点$A$、$B$不重合,点$D$在$CB$的延长线上,且$EC=ED$.
$(1)$如图$1$,若点$E$是$AB$的中点,求证:$BD=AE$；
$(2)$如图$2$,若点$E$不是$AB$的中点时,$\left(1\right)$中的结论"$BD=AE$"能否成立?若不成立,请直接写出$BD$与$AE$数量关系,若成立,请给予证明.