已知抛物线$y=ax^{2}+bx+c$经过$A\left(-1,0\right)$、$B\left(3,0\right)$、$C\left(0,3\right)$三点,直线$l$是抛物线的对称轴.
$(1)$求抛物线的函数关系式；
$(2)$设点$P$是直线$l$上的一个动点,当$\triangle PAC$的周长最小时,求点$P$的坐标；
$(3)$在直线$l$上是否存在点$M$,使$\triangle MAC$为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点$M$的坐标；若不存在,请说明理由.