已知下列$4$个等式:
第$1$个等式:$3^{2}=2\times 2+5=4+5$；
第$2$个等式:$5^{2}=2\times 6+13=12+13$；
第$3$个等式:$7^{2}=2\times 12+25=24+25$；
第$4$个等式:$9^{2}=2\times 20+41=40+41$；
$(1)$观察上述等式,请写出第$5$个等式；
$(2)$写出第$n$个等式,并证明；
$(3)$我们还发现:第$1$个等式中$3^{2}$可以写成$3^{2}=5^{2}-4^{2}$,第$2$个等式中$5^{2}$可以写成$5^{2}=13^{2}-12^{2}$,$\ldots$,以此类推.形如"$3$,$4$,$5$"或"$5$,$12$,$13$"这样能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为"勾股数",请写出其中一个数为$85$的"勾股数".