背景介绍:
勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力,千百年来,人们对它的证明精彩纷呈,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者,向常春在$1994$年构造发现了一个新的证法.
小试牛刀:
把两个全等的直角三角形如图
$(1)$放置,其三边长分别为$a$,$b$,$c$显然,$\angle DAB=\angle B=90^{\circ}$,$AC\bot DE$,请用$a$,$b$,$c$分别表示出梯形$ABCD$,四边形$AECD$,$\triangle EBC$的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,可得到$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

$S_{梯形ABCD}=$______,$S_{\triangle EBC}=$______,$S_{四边形AECD}=$______,则它们满足的关系式为______,经化简,可得到$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
$($提示:对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）
$[$知识运用$]$
$(1)$如图$\left(2\right)$,铁路上$A$,$B$两点（看作直线上的两点）相距$30$千米,$C$,$D$为两个村庄（看作两个点$),AD\bot AB,BC\bot AB$,垂足分别为$A$,$B$,$AD=24$千米,$BC=14$千米,则两个村庄的距离为______千米（直接填空）；
$(2)$在（1）的背景下,若要在$AB$上建造一个供应站$P$,使得$PC=PD$,请用尺规作图在图（3）中作出$P$点的位置并求出$AP$的距离.