如图,二次函数的图象与$x$轴交于$A\left(-3,0\right)$和$B\left(1,0\right)$两点,交$y$轴于点$C\left(0,3\right)$,点$C$,$D$是二次函数图象上的一对对称点,一次函数的图象过点$B$,$D$.

$(1)$求二次函数解析式；
$(2)$求出顶点坐标和点$D$的坐标；
$(3)$二次函数的对称轴上是否存在的一点$M$,使$\triangle BCM$的周长最小?若存在,求出$M$点坐标；若不存在,请说明理由.