如图$1$,在平面直角坐标系中,点$A\left(0,a-2\right)$,$B\left(b,0\right)$,$C\left(b-6,-b\right)$,且$a$,$b$满足$\sqrt{a-b}+{(b-8)}^{2}=0$,连接$AB$,$AC$,$AC$交$x$轴于点$D$.
$(1)$点$C$的坐标为______；
$(2)$连接$BC$,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由；
$(3)$如图$2$,点$E$在线段$AB$上一动点,作$EG\bot y$轴于点$G$,交$AC$于点$F$,当$EG=AO$时,$\frac{EF-OD}{AG}$是否为定值?若是,求出其定值；若不是,请说明理由.