如图$1$,已知直线$l_{1}$:$y=-x+5$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,直线$l_{2}$与$y$轴交于点$C\left(0,-1\right)$,与直线$l_{1}$交于点$D\left(2,t\right)$.
$(1)$求直线$l_{2}$的解析式；
$(2)$如图$2$,若点$P$在直线$l_{1}$上,过点$P$作$PQ$∥$y$轴交$l_{2}$于点$Q$,交$x$轴于点$G$,使$S_{\triangle PCG}=2S_{\triangle QCG}$,求此时$P$点的坐标；
$(3)$如图$3$,点$P$是直线$l_{1}$上一动点,点$Q$是直线$l_{2}$上一动点,点$E$是坐标平面内一点,若以点$C$、$P$、$Q$、$E$为顶点的四边形为正方形,且$CQ$是正方形的边,若存在,请直接写出点$Q$的坐标.