定义；如果抛物线$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$与$x$轴交于点$A(x_{1}$,$0)$,$B(x_{2}$,$0)$,那么我们把线段$AB$叫做泉塘弦,$AB$两点之间的距离称为抛物线的泉塘弦长.
$(1)$求抛物线$y=x^{2}-5x-6$的泉塘弦长；
$(2)$求抛物线$y=x^{2}+\left(n+1\right)x-1\left(1\leqslant n \lt 3\right)$的泉塘弦长的取值范围；
$(3)$设$m$,$n$为正整数,且$m\neq 1$,抛物线$y=x^{2}+\left(4-mt\right)x-4mt$的泉塘弦长为$l_{1}$,抛物线$y=-x^{2}+\left(t-n\right)x+nt$的泉塘弦长为$l_{2}$,$s={l}_{1}^{2}-{l}_{2}^{2}$,试求出$s$与$t$之间的函数关系式,若不论$t$为何值,$s\geqslant 0$恒成立,求$m$,$n$的值.