已知抛物线${L}_{1}:y=a{x}^{2}+bx+4$与$x$轴交于$A\left(-4,0\right)$,$B\left(2,0\right)$两点,与$y$轴交于点$C$.

$(1)$请直接写出:此抛物线的函数解析式为______；
$(2)$如图$1$,已知点$D$在第二象限的抛物线上,点$E$在抛物线的对称轴上,是否存在这样的$D$、$E$两点使得四边形$BCDE$为矩形?若存在,求$D$、$E$两点的坐标；若不存在,请说明理由；
$(3)$如图$2$,平移抛物线$L_{1}$,使新抛物线$L_{2}$的顶点$P$在$AC$的延长线上,过点$P$作$PQ\bot x$轴于点$Q$,过原抛物线的顶点$M$作$MN\bot x$轴,交新抛物线于点$N$,若$MN=PQ$,求点$P$的坐标.