已知数轴上三点$M$,$O$,$N$对应的数分别为$-1$,$0$,$3$,点$P$为数轴上任意一点,其对应的数为$x$.
$(1)MN$的长为______；
$(2)$如果点$P$到点$M$、点$N$的距离相等,那么$x$的值是______；
$(3)$数轴上是否存在点$P$,使点$P$到点$M$、点$N$的距离之和是$8$?若存在,直接写出$x$的值；若不存在,请说明理由.
$(4)$如果点$P$以每分钟$1$个单位长度的速度从点$O$向左运动,同时点$M$和点$N$分别以每分钟$2$个单位长度和每分钟$3$个单位长度的速度也向左运动.设$t$分钟时点$P$到点$M$、点$N$的距离相等,求$t$的值.