已知抛物线$G_{1}$:$y=-x^{2}+2mx+m$和$G_{2}$:$y=-x^{2}+2nx+n\left(n \gt m\right)$相交于点$A$,过点$A$的直线$l:y=kx+b$与抛物线$G_{1}$交于另一点$B$,与抛物线$G_{2}$交于另一点$C$,抛物线$G_{1}$的顶点为点$M$,抛物线$G_{2}$的顶点为点$N$.
$(1)$直接写出顶点$M$的坐标；(用含$m$的式子表示）
$(2)$当$m=-3$,$n=2$,且直线$l$∥$x$轴时,求证:$MB=NA$；
$(3)$当$k\neq 0$时,若$AB=AC$,求直线$l$的表达式.(用含$m$,$n$的式子表示）