在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=k\left(x+2\right)-1\left(k \gt 0\right)$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}(m\neq 0)$的图象的一个交点为$A\left(-2,n\right)$.
$(1)$求反比例函数$y=\frac{m}{x}$的表达式；
$(2)$当$x \gt 1$时,对于$x$的每一个值,一次函数$y=k\left(x+2\right)-1(y=\frac{m}{x}$）的值大于反比例函数$y=\frac{m}{x}(m\neq 0)$的值,直接写出$k$的取值范围.