$(1)$小明在学习矩形的时候发现:如图$1$,当点$P$在矩形$ABCD$的边$BC$上时,点$P$到$4$个顶点间的距离$PA$,$PB$,$PC$,$PD$之间满足$PA^{2}+PC^{2}=PB^{2}+PD^{2}$,请对小明发现的结论给出证明；
$(2)$如图$2$,当点$P$在矩形$ABCD$内部或矩形$ABCD$外部时,$PA$,$PB$,$PC$,$PD$之间的数量关系仍成立吗?如果成立,请加以证明（请选择点$P$在矩形$ABCD$内部或外部的一种情况即可）,如果不成立,请说明理由；
$(3)$在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AB=8$,$P$为平面内一点,$PA=7$,$PC=3$,则$PB$长的取值范围是______$(直接写出结果)$.