$1$号探测气球从海拔$10$米处出发,以$1$米$/$分的速度竖直上升.与此同时,$2$号探测气球从海拔$20m$处出发,以$a$米$/$分的速度竖直上升.两个气球都上升了$60$分钟,$1$号、$2$号气球所在位置的海拔$y_{1}$,$y_{2}($单位:米）与上升时间$x(单位:分)$的函数关系如图所示.请根据图象回答下列问题:
$(1)b=$______；
$(2)$请求出$y_{2}$与$x$的函数关系式；
$(3)$当上升多长时间时,两个气球的海拔竖直高度差为$6$米?