勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,它不但因证明方法层出不穷吸引着人们,更因为应用广泛而使人着迷.
$(1)$应用场景$1$—在数轴上画出表示无理数的点.如图$1$,在数轴上找出表示$3$的点$A$,过点$A$作直线$l$垂直于$OA$,在$l$上取点$B$,使$AB=2$,以原点$O$为圆心,$OB$为半径作弧,则弧与数轴的交点$C$表示的数是______；
$(2)$应用场景$2$—解决实际问题.如图$2$,秋千由静止铅锤位置$AB$推至$AC$处,它的绳索始终拉直,量得水平距离$CD=2m$,$DB=1m$,求绳索$AC$的长.