下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：$⊙O$和$⊙O$外一点$P.$
求作：过点$P$的$⊙O$的切线．
作法：如图，
$(1)$连接$OP$；
$(2)$分别以点$O$和点$P$为圆心，大于$\dfrac{1}{2}OP$的长为半径作弧，两弧相交于$M$，$N$两点；
$(3)$作直线$MN$，交$OP$于点$C$；
$(4)$以点$C$为圆心，$CO$的长为半径作圆，交$⊙O$于$A$，$B$两点；
$(5)$作直线$PA$，$PB.$
直线$PA$，$PB$即为所求作$⊙O$的切线．
完成如下证明：
证明：连接$OA$，$OB$，
$∵OP$是$⊙C$直径，点$A$在$⊙C$上
$∴∠OAP=90°($______$)($填推理的依据$).$
$∴OA⊥AP.$
又$∵$点$A$在$⊙O$上，
$∴$直线$PA$是$⊙O$的切线$($______$)($填推理的依据$).$
同理可证直线$PB$是$⊙O$的切线．