如图,抛物线$y=-x^{2}+2x+m+1(m$为常数）交$y$轴于点$A$,与$x$轴的一个交点在$2$和$3$之间,顶点为$B$.
①抛物线$y=-x^{2}+2x+m+1$与直线$y=m+2$有且只有一个交点；
②若点$M(-2$,$y_{1})$、点$N(\frac{1}{2}$,$y_{2})$、点$P(2$,$y_{3})$在该函数图象上,则$y_{1} \lt y_{2} \lt y_{3}$；
③将该抛物线向左平移$2$个单位,再向下平移$2$个单位,所得抛物线解析式为$y=-\left(x+1\right)^{2}+m$；
④点$A$关于直线$x=1$的对称点为$C$,点$D$、$E$分别在$x$轴和$y$轴上,当$m=1$时,四边形$BCDE$周长的最小值为$\sqrt{34}+\sqrt{2}$.
其中正确的判断有（ ）