在学习了《中心对称图形》一章后,小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣,他发现除了已经学过的四边形外,还有很多比较特殊的四边形,勇于创新的他大胆地作出这样的定义:有一个内角是直角,且对角线互相垂直的四边形称为"双直四边形".
【性质探究】（1）下列关于"双直四边形"的说法,正确的有______$(填序号)$.
①"双直四边形"的对角线不可能相等；
②"双直四边形"的面积等于对角线乘积的一半；
③若一个"双直四边形"是中心对称图形,则其一定是正方形.
【判定探究】（2）如图$1$,在矩形$ABCD$中,点$E$、$F$分别在边$AB$、$AD$上,连接$EF$、$EG$、$FG$,若$DF=DG$,$\angle AEF=30^{\circ}$,$\angle EGF=75^{\circ}$,证明:四边形$EFDG$为"双直四边形".
【拓展提升】（3）如图$2$,在平面直角坐标系中,已知$A\left(0,8\right)$,$C\left(16,0\right)$,点$B$在线段$OC$上,且$AB=BC$,是否存在点$D$在第一象限,使得四边形$ABCD$为"双直四边形"且面积最大,若存在,求出此时点$D$的坐标,若不存在,请说明理由.