如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$AB:y=x-2$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于$A$、$B$两点与$x$轴相交于点$C$,已知点$A$,$B$的坐标分别为$\left(3n,n\right)$和$\left(m,-3\right)$.
$(1)k=$______,$m=$______,$n=$______；
$(2)$观察图象,直接写出不等式$x-2＜\frac{k}{x}$的解集为______；
$(3)$连接$OB$,求$\triangle AOB$的面积.