五一假期期间,小育和小才约定一同去某公园游玩,如图,该公园有$A$、$B$两个门.经测量,东门$A$在西门$B$的正东方向,$AB=400$米.小育自公园东门$A$处出发,沿北偏西$45^{\circ}$方向前往游乐场$D$处:小才自西门$B$处出发,沿正北方向行走一段距离到达$C$处后,然后沿北偏东$60^{\circ}$方向行走$200$米到达游乐场$D$处与小育汇合.
$(1)$求公园东门$A$与游乐场$D$之间的距离（结果保留根号）；
$(2)$若小育和小才两人分别从$A$,$B$两门同时出发,假设两人前往游乐场$D$的速度相同.请计算说明小育和小才谁先到达游乐场$D?($参考数据:$\sqrt{2}\approx 1.4$,$\sqrt{3}\approx 1.7$,$\sqrt{6}\approx 2.4)$