问题提出

如图①,$AB$、$AC$是$\odot O$的两条弦,$AC \gt AB$,$M$是$BAC$的中点$MD\bot AC$,垂足为$D$,求证:$CD=BA+AD$.

小敏在解答此题时,利用了"补短法"进行证明,她的方法如下:

如图②,延长$CA$至$E$,使$AE=AB$,连接$MA$、$MB$、$MC$、$ME$、$BC$.

（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程.)

推广运用

如图③,等边$\triangle ABC$内接于$\odot O$,$AB=1$,$D$是$AC$上一点,$\angle ABD=45^{\circ}$,$AE\bot BD$,垂足为$E$,则$\triangle BDC$的周长是＿＿＿.

拓展研究

如图④,若将"问题提出"中"$M$是$BAC$的中点"改成"$M$是$BC$的中点",其余条件不变,"$CD=BA+AD$"这一结论还成立吗?若成立,请说明理由；若不成立,写出$CD$、$BA$、$AD$三者之间存在的关系并说明理由.