如图,已知抛物线$y=ax^{2}+bx+3$与$x$轴交于$A\left(-1,0\right)$、$B\left(3,0\right)$两点,与$y$轴交于点$C$,连接$BC$.
$(1)$求抛物线的解析式；
$(2)$若点$P$为线段$BC$上的一动点（不与$B$、$C$重合$),PM$∥$y$轴,且$PM$交抛物线于点$M$,交$x$轴于点$N$,当$\triangle BCM$的面积最大时,求点$P$的坐标.