综合与探究:已知:如图①,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AC=8cm$,$BC=6cm$,点$P$由$B$出发沿$BA$方向向点$A$匀速运动,速度为$1cm/s$；点$Q$由$A$出发沿$AC$方向向点$C$匀速运动,速度为$2cm/s$；连接$PQ$.若设运动的时间为$t\left(s\right)\left(0 \lt t \lt 4\right)$,解答下列问题:
$(1)$当$AP=AQ$时,求$t$的值；
$(2)$点$P$,$Q$同时出发,$t$为何值时,以$A$,$P$,$Q$为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似；
$(3)$如图②,连接$PC$,并把$\triangle PQC$沿$QC$翻折,得到四边形$PQP\’C$,那么是否存在某一时刻$t$,使四边形$PQP\’C$为菱形?若存在,直接写出此时$t$的值；若不存在,说明理由.(不写求解过程）