【课本再现】
$(1)$如图$1$,正方形$ABCD$的对角线相交于点$O$,点$O$又是正方形$A_{1}B_{1}C_{1}O$的一个顶点,而且这两个正方形的边长都为$1$,四边形$OEBF$为两个正方形重叠部分,正方形$A_{1}B_{1}C_{1}O$可绕点$O$转动.则下列结论正确的是______$(填序号即可)$.
①$\triangle AEO$≌$\triangle BFO$；
②$OE=OF$；
③四边形$OEBF$的面积总等于$\frac{1}{4}$；
④连接$EF$,总有$AE^{2}+CF^{2}=EF^{2}$.
【类比迁移】
$(2)$如图$2$,矩形$ABCD$的中心$O$是矩形$A_{1}B_{1}C_{1}O$的一个顶点,$A_{1}O$与边$AB$相交于点$E$,$C_{1}O$与边$CB$相交于点$F$,连接$EF$,矩形$A_{1}B_{1}C_{1}O$可绕着点$O$旋转,猜想$AE$,$CF$,$EF$之间的数量关系,并进行证明；
【拓展应用】
$(3)$如图$3$,在$Rt\triangle ACB$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AC=3cm$,$BC=4cm$,直角$\angle EDF$的顶点$D$在边$AB$的中点处,它的两条边$DE$和$DF$分别与直线$AC$,$BC$相交于点$E$,$F$,$\angle EDF$可绕着点$D$旋转,当$AE=2cm$时,求线段$EF$的长度.