如图,在$\triangle ABC$中,$AB=BC$,$\angle ABC=60^{\circ}$,点$E$在射线$AB$上（不与点$A$,$B$重合),将线段$CE$绕点$E$顺时针旋转$120^{\circ}$得到线段$ED$,连接$AD$,取$AD$中点$F$,连接$FE$.
$(1)$如图$1$,若点$E$是$AB$中点时,点$D$,$B$,$C$恰好在一条直线上,用等式表示线段$EF$和$BE$的数量关系,并证明；
$(2)$当点$E$在射线$AB$上时,$\left(1\right)$中的结论是否成立,在图$2$,图$3$中任选一种情况完成证明.