平面直角坐标系$xOy$中,二次函数$y=x^{2}+mx+n$的对称轴为直线$x=2$,且经过点$A\left(0,3\right)$.
$(1)$求这个二次函数的解析式,并画出它的图象；
$(2)$将这个二次函数的图象沿$y$轴向下平移,请回答:当向下平移______单位时,所得到的新的函数图象与$x$轴的两个交点的距离为$4.(写出推理过程)$