若两个二次函数图象的顶点相同,开口大小相同,但开口方向相反,则称这两个二次函数为"对称二次函数".
$(1)$请写出二次函数$y=2\left(x-2\right)^{2}+1$的"对称二次函数"；
$(2)$已知关于$x$的二次函数$y_{1}=x^{2}-3x+1$和$y_{2}=ax^{2}+bx+c$,若$y_{2}$与$y_{1}$互为"对称二次函数",求函数$y_{2}$的表达式,并求出当$-3\leqslant x\leqslant 3$时,$y_{2}$的最大值.